反比例函数及其图象

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    一般地,函数 (k是常数, )叫做反比例函数.
    即在上面的例子中,当路程s是常数时,时间t就是速度v的反比例函数,能否说:速度v是时间t的反比例函数呢?
    通过这个问题,使学生进一步理解反比例函数的概念,只要满足 (k是常数, )就可以.因此可以说速度v是时间t的反比例函数,因为 (s是常量).对第2个实例也一样.
    练习一:教材P129中1 口答.P130 1
    根据前面学习非凡函数的经验,研究完函数的概念,跟着要研究的是什么?
    答:图像和性质.
    通过这个问题,使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的熟悉,以后
    学生要研究其他函数,也可以按照这种方式来研究.
    下面,我们就来看一个例题:(出示幻灯)
    例1 画出反比例函数 与 的图像.
    提问:1.画函数图像的关键问题是什么?
    答:合理、正确地选值列表.
    2.在选值时,你认为要注重什么问题?
    答:(1)由于函数图像的特点还不清楚,多选几个点较好;
    (2)不能选 ,因为 时函数无意义;
    (3)选整数较好计算和描点.
    这个问题中最核心的一点是关于 的问题,提醒学生注重.
    3.你能不能自己完成这道题呢?
    学生在练习本上列表、描点、连线,教师在黑板上板演,到连线时可暂停,让学生先连完线之后,找一名同学上黑板连线,然后就这名同学的连线加以评价、总结:
    注重:(1)一般地,反比例函数 的图像由两条曲线组成,叫做双曲线;
    (2)这两条曲线不相交;
    (3)这两条曲线无限延伸,无限靠近x轴和y轴,但永不会与x轴和y轴相交.
    关于注重(3)可问学生:为什么图像与x和y轴不相交?
    通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆,又可培养学生思维的灵活性和深刻性.
    再让学生观察黑板上的图,提问:
    1.当 时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,y随x的增大怎样变化?
    2.当 时,双曲线的两个分支各在哪个象限?在每个象限内,y随x的增大怎样变化?
    这两个问题由学生讨论总结之后回答,教师板书:
    对于双曲线(1)当 :(1)当 时,双曲线的两分支位于一、三象限,y随x的增大而减少;(2)当 时,双曲线的两分支位于二、四象限,y随x的增大而增大.
    3.反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同?
    通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来,便于记忆和应用.
    练习二:教材P129中2由学生在练习本上完成,教师巡回指导.P130中2、3填在书上
    上面,我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质,下面我们再来看一个不同类型的例题:(出示幻灯)
    例2已知y与 成反比例,并且当 时, ,求 时,y的值.
    用提问的方式对此题加以分析:
    (1)y与 成反比例是什么含义?
    由学生讨论这一问题,最后归结为根据反比例函数的概念,这句话说明了: .
    (2)根据这个式子,能否求出当 时,y的值?
    (3)要想求出y的值,必须先知道哪个量呢?
    (4)怎样才能确定k的值?用什么条件?
    答:用待定系数法,把 时 代入 ,求出k的值.
    (5)你能否自己完成这道例题:
    由一名同学板演,其他同学在练习本上完成.
    例3 已知: , 与x成正比例, 与x成反比例,当 时, 时, ,求y与x的解析式.
    分析:一定要先写出y与x的函数表达式 ,
    要用x分别把 , 表示出来得 ,
    要注重 不能写成k,∴
    解:设 ,
    .
    由题意得
    ∴ .
    (二)总结、扩展
    教师提问,学生思考回答:
    1.什么是反比例函数?
    2.反比例函数的图像是什么样的?
    3.反比例函数 的性质是什么?
    4.命题方向及题型设置,反比例函数也是中考命题的主要考点,其图像和性质,以及其函数解析式的确定,常以填空题、选择题出现,在低档题中,近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题,丰富了压轴题的形式和内容.
    五、布置作业
    1.教材P130中4,5,6
    2.选做:P130中B1,2
    六、板书设计
    13.8反比例函数及其图像
    引例:(1)例1:例2:例3:
    (2)
    1.反比例函数:
    2.反比例函数的性质
    探究活动
    已知:如图,一次函数的图像经过第一、二、三象限,且与反比例函数的图像交于A、B两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D。 。
    (1)求反比例函数的解析式;
    (2)设点A的横坐标为m, 的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
    (3)当 的面积等于 时,试判定过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。假如能,求此时抛物线的解析式;假如不能,请说明理由。
    解:(1)过点B作 轴于点H。
    在Rt 中,
    由勾股定理,得
    又 ,
    ∴ 点B(-3,-1)。
    设反比例函数的解析式为
    。
    ∵ 点B在反比例函数的图像上,
    。
    ∴ 反比例函数的解析式为 。
    (2)设直线AB的解析式为 。
    由点A在第一象限,得 。
    又由点A在函数 的图像上,可求得点A的纵坐标为 。
    ∵ 点B(-3,-1),点 ,
    ∴ 解关于 、 的方程组,得
    ∴ 直线AB的解析式为 。
    令 。
    求得点D的横坐标为 。
    过点A作 轴于点G
    由已知,直线经过第一、二、三象限,
    ∴ ,即 。
    由此得
    ∴ 。
    即 。
    (3)过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
    证实如下:
    。
    由 ,
    得
    解得 。
    经检验, 都是这个方程的根。
    ,
    ∴ 不合题意,舍去。
    ∴ 点A(1,3)。
    设过A(1,3)、B(-3,-1)两点的抛物线的解析式为 。
    ∴ 由此得
    即 。
    设抛物线与x轴两交点的横坐标为 。
    则
    令
    则 。
    即 。
    整理,得 。
    ,
    ∴ 方程 无实数根。
    因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

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