不等式的证实1

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    设计意图:通过教师设置问题,引导学生回忆所学的知识,引出用比较法证实不等式,导入本节课学习的知识.
    (二)新课讲授
    尝试探索,建立新知
    (教师活动)教师板书问题(证实不等式),写出一道例题的题目
    [问题] 求证
    教师引导学生分析、思考,研究不等式的证实.
    (学生活动)学生研究证实不等式,尝试完成问题.
    (得出证实过程后)
    [点评]
    ①通过确定差的符号,证实不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证实不等式性质就已经用过.
    ②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.
    ③理论依据是:
    ④由 , ,知:要证实 只要证 ;要证实 这种证实不等式的方法通常叫做比较法.
    设计意图:帮助学生构建用比较法证实不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.
    例题示范,学会应用
    (教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.
    例1 求证
    (学生活动)学生在教师引导下,研究问题.与教师一道完成问题的论证.
    [分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得 ,将此式看作关于 的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.
    证实:∵
    =
    = ,
    ∴ .
    [点评]
    ①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.
    ②作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.
    ③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判定.
    变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要灵活处理,例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
    例2 已知都是正数,并且 ,求证:
    [分析]这是分式不等式的证实题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.
    证实:
    =
    = .
    因为 都是正数,且 ,所以
    .
    ∴ .
    即:
    [点评]
    ①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.
    ②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
    ③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数.
    1.当 时,
    2.当 时, .以后要记住.
    设计意图:巩固用比较法证实不等式的知识,学会在用比较法证实不等式中,对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
    课堂练习
    (教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.
    [字幕]
    练习:1.求证
    2.已知 , , ,d都是正数,且 ,求证
    (学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
    设计意图,把握用比较法证实不等式,并会灵活运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
    分析归纳、小结解法
    (教学活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结用比较法证实不等式的解题方法.
    (学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
    比较法是证实不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证实不等式的步骤是:作差、变形、判定符号.要灵活把握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
    设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握用比较法证实不等式的方法.
    (三)小结
    (教师活动)教师小结本节课所学的知识.
    (学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
    本节课学习了用比较法证实不等式,用比较法证实不等式的步骤中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.把握求差后对差式变形的常用方法:配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
    设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
    (四)布置作业
    1.课本作业:P16.1,2,3.
    2.思考题:已知 ,求证:
    3.研究性题:设 , , 都是正数,且 ,求证:
    设计意图,课本作业供学生巩固基础知识;思考题供学有余力的学生完成,培养其灵活把握用比较法证实不等式的能力;研究性题是为培养学生创新意识.
    (五)课后点评
    1.本节课是用比较法证实不等式的第一节课,在导入新课时,教师提出问题,让学生回忆所学知识中,是如何比较两个实数大小的,从而引入用比较法证实不等式.这样处理合情合理,顺理成章.
    2.在建立新知过程中,教师引导学生分析研究证实不等式,使学生在尝试探索过程中形成用比较法证实不等式的感性熟悉.
    3.例1,例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结,求差后对差式变形、并判定符号的方法,以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点,应着重解决.首先让学生明确变形目的,减少变形的盲目性;其次是总结变形时常用方法,有利于难点的突破.
    4.本节课采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题,培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
    作业答实
    思考题: ,又 ,获证.

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