组合

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组合

    教学目标
    (1)使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;
    (2)使学生把握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系;
    (3)通过学习组合知识,让学生把握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;
    (4)通过对排列、组合问题求解与剖析,培养学生学习爱好和思维深刻性,学生具有严谨的学习态度。
    教学建议
    一、知识结构
    二、重点难点分析
    本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式,组合数的性质。难点是解组合的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的把握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。
    组合与组合数,也有上面类似的关系。从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。所有这些不同的组合的个数叫做组合数。从集合的角度看,从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合(无序集),相当于一个组合,而这种集合的个数,就是相应的组合数。
    解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步.切记:排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘).
    三、教法设计
    1.对于基础较好的学生,建议把排列与组合的概念进行对比的进行学习,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系.
    2.学生与老师可以合编一些排列组合问题,如“45人中选出5人当班干部有多少种选法?”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法?”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是组合问题.这样既调动了学生学习的积极性,又在编题辨题中澄清了概念.
    为了理解排列与组合的概念,建议大家学会画排列与组合的树图.如,从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为:
    排列树图
    由排列树图得到,从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个,它们分别是:abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.
    组合树图
    由组合树图可得,从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个,它们是(abc),(abd),(acd),(bcd).
    从以上两组树图清楚的告诉我们,排列树图是对称的,组合图式不是对称的,之所以排列树图具有对称性,是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会,哪一个都有在第二位的机会,哪一个都有在第三位的机会,而组合只考虑字母不考虑顺序,为实现无顺序的要求,我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后,固定了死顺序等于无顺序,这样组合就有了自己的树图.
    学会画组合树图,不仅有利于理解排列与组合的概念,还有助于推导组合数的计算公式.
    3.排列组合的应用问题,教师应从简单问题问题入手,逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题,最后在设及排列与组合的综合问题.
    对于每一道题目,教师必须先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判定正误,在给予点播.对于排列、组合应用问题的解决我们提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律.对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判定得以提高.
    4.两个性质定理教学时,对定理1,可以用下例来说明:从4个不同的元素a,b,c,d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是
    这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的.
    对定理2,可启发学生从下面问题的讨论得出.从n个不同元素 , ,…, 里每次取出m个不同的元素( ),问:(1)可以组成多少个组合;(2)在这些组合里,有多少个是不含有 的;(3)在这些组合里,有多少个是含有 的;(4)从上面的结果,可以得出一个怎样的公式.在此基础上引出定理2.
    对于 ,和 一样,是一种规定.而学生经常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚.
    教学设计示例
    教学目标
    (1)使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;
    (2)使学生把握组合数的计算公式;
    (3)通过学习组合知识,让学生把握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;
    教学重点难点
    重点是组合的定义、组合数及组合数的公式;
    难点是解组合的应用题.
    教学过程设计
    (-)导入新课
    (教师活动)提出下列思考问题,打出字幕.
    [字幕]一条铁路线上有6个火车站,(1)需预备多少种不同的普通客车票?(2)有多少种不同票价的普通客车票?上面问题中,哪一问是排列问题?哪一问是组合问题?
    (学生活动)讨论并回答.
    答案提示:(1)排列;(2)组合.
    [评述]问题(1)是从6个火车站中任选两个,并按一定的顺序排列,要求出排法的种数,属于排列问题;(2)是从6个火车站中任选两个并成一组,两站无顺序关系,要求出不同的组数,属于组合问题.这节课着重研究组合问题.
    设计意图:组合与排列所研究的问题几乎是平行的.上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题.
    (二)新课讲授
    [提出问题 创设情境]
    (教师活动)指导学生带着问题阅读课文.
    [字幕]1.排列的定义是什么?
    2.举例说明一个组合是什么?
    3.一个组合与一个排列有何区别?
    (学生活动)阅读回答.
    (教师活动)对照课文,逐一评析.
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